Halaman
39Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX BABBangun Ruang Sisi Lengkung2Tujuan PembelajaranPada bab ini, kamu akan mempelajari tentang sifat-sifat tabung, kerucut, dan bola serta menentukan ukurannya. Setalah melakukan pembelajaran ini, kamu dapat:• menyebutkan unsur jari-jari/diameter, tinggi, sisi, alas dari tabung dan kerucut;• melukis jaring-jaring tabung, kerucut dan bola;• menghitung luas selimut tabung, kerucut, dan bola;• menghitung volume tabung, kerucut, dan bola;• menghitung unsu-unsur BRSL jika volume BRSL diketahui;• menghitung perbandingan volume tabung, kerucut, dan bola karena perubahan ukuran jari-jari;• menghitung bersar perubahan volume tabung, kerucut, dan bola jika jari-jari berubah.Pada sebuah kubah masjid berbentuk setengah bola dengan panjang diameternya 25 meter. Jika permukaan kubah bagian luar akan dicat ulang dan setiap meter persegi (m2) memerlukan dana Rp50.000,00, berapakah biaya yang dibutuhkan untuk pengecatan kubah tersebut? Tentunya dengan menggunakan rumus-rumus tertentu pada sebuah bola maka akan mempermudah kita menghitung berapakah biaya yang dibutuhkan pada pengecatan kubah tersebut. Sumber: Katalog Kalender 2005
40Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungMateri PrasyaratUntuk memudahkanmu mempelajari materi pada bab ini, coba ingat kembali tentang cara mencari volume tabung yang telah dipelajari di kelas VI SD. Selain itu, kamu juga harus mengingat kembali tentang keliling dan luas lingkaran. Materi pada bab ini merupakan kelanjutan dari materi tentang sifat-sifat bangun ruang yang telah dipelajari di kelas VIII.Soal Pembangkit MotivasiSebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut!1. Suatu tabung mempunyai jari-jari tutup tabung 7 cm dan tinggi tabung 10 cm. Berapakah luas sisi tabung?2. Suatu kerucut berdiameter 10 cm dan memiliki tinggi 15 cm seperti pada gambar di samping ini. Berapakah luas sisi kerucut tersebut?3. Sebuah bola yang berdiameter 12 cm. Jika p = 227maka berapakh luas dan volum bola tersebut?4. Sebuah cetakan kue berbentuk 7 cm10 cm15 cm10 cm2 cmOS
41Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX tabung dengan jari-jari 14 cm dan tinggi 10 cm. Model cetakan diperbarui seperti tampak pada gambar dengan membuang 15 bagian. Tentukan volume dari model cetakan tersebut!Perhatikan gambar-gambar berikut ini!Semua benda-benda di atas tersebut mempunyai sisi lengkung.Kata Kunci• Alas• Bola• Diameter• Jari-jari• Jaring-jaring• Kerucut• Luas• Selimut• Sisi• Tabung• Tinggi• VolumeKeleng minumanEs krimCangkirPayungTopi petaniBolaSumber: Clip Art dan Dokumen PenerbitMNO
42Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungA. Unsur-Unsur pada Tabung, Kerucut, dan Bola1. Tabunga. Mengenal TabungPerhatikan gambar berikut iniTinggiJari-jariSisi atasSisi alasSisi atasSisi lengkung/selimut tabungGambar di atas adalah beberapa contoh benda-benda yang ada di sekitar kita yang berbentuk tabung. Tabung adalah suatu bangun yang dibatasi oleh dia bidang sisi yang sejajar dan kongruen berbentuk lingkaran serta bidang sisi tegak berbentuk selongsong yang disebut selubung.Unsur-Unsut tabung terlihat pada gambar di samping ini!a. Jaring-Jaring TabungJaring-jaring tabung adalah bangun datar yang dapat dibentuk menjadi tabung. Jika sebuah tabung dibuka, bagian alas, atas dan selubung dipisahkan maka akan tampak seperti pada gambar berikut.
43Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Jaring-jaring tabung tersebut terdiri dari persegi panjang dengan ukuran t × 2Sr dan dua lingkaran dengan jari-jari r.ContohLukislah jaring-jaring tabung yang tingginya 12 cm dan jari-jari alasnya 7 cm.Penyelesaian:Langkah-langkahnya:1. Lukislah persegi panjang dengan ukuran 12 × 44 cm.2. Kemudian, lukislah dua lingkaran atas dan alas yang berjari-jari 7 cm!tabungQPQPQPrrrttjaring-jaring tabung2SrBuatlah jaring-jaring tabung sesuai ukuran berikut!No.Jari-JariTinggi12.3.3 cm5 cm6 cm5 cm8 cm10 cmTugas774412
44Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkung2. Kerucuta. Mengenal KerucutPerhatikanlah gambar di bawah ini!Gambar tersebut merupakan beberapa contoh bangun ruang kerucut. Kerucut adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh bidang sisi alas yang berbentuk lingkaran dan bidang sisi lain yang disebut selimut kerucut.Unsur-unsur kerucut tampak pada gambar berikut ini.b. Jaring-jaring KerucutJaring-jaring kerucut adalah bidang datar yang dapat dibentuk menjadi kerucut. Jika sebuah kerucut dibuka maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.Alas kerucutJari-jariGaris pelukisSelimut kerucutTinggi kerucutTTttrs = a = rs. 3602Srssr
45Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Jaring-jaring kerucut terdiri dari sebuah jaring lingkaran dengan jari-jari s (s disebut garis pelukis), sudut pusat rs. 360°, dan sebuah lingkaran dengan jari-jari r.ContohLukislah jaring-jaring kerucut yang tingginya 4 cm dan jari-jari alas 3 cm.Penyelesaian: s = Sudut pusat = rs. 360° = = 35. 360° = 5 = 216° Langkah-langkahnya:1. Lukislah juring lingkaran dengan jari-jari s = 5 cm, sudut pusat 216° dan titik pusat T.2. Kemudian, lukislah lingkaran dengan jari-jari 3 cm dan menyinggung busur pada juring tadi!ab cTT5 cm3 cm216°Buatlah jaring-jaring tabung sesuai ukuran berikut!rat12.3.3 cm5 cm6 cm5 cm10 cm15 cmTugas3. BolaPerhatikanlah gambar di bawah ini!
46Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungBumi yang kita tempati, kelereng, dan bola voli adalah bangun-bangun ruang yang berbentuk bola. Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung. Bola juga disebut sebagai bangun ruang hasil putaran setengah lingkaran seperti tampak pada gambar tersebut.Unsur-unsur bola, terlihat pada gambar di bawah ini.Info PlusSetengah dari bola disebut hemisfer. Hemisfer terbentuk apabila sebuah bola dipotong menjadi dua bagian dan potongan itu melewati pusat bola tersebut.Uji Kompetensi1. Lukislah jaring-jaring tabung yang tingginya 8 cm dan jari-jari alas 2 cm!2. Lukislah jaring-jaring kerucut yang tingginya 12 cm dan jari-jari alas 5 cm!3. Buatlah model tabung dengan menggunakan kertas karton yang tingginya 25 cm dan jari-jari alas 14 cm!4. Buatlah model kerucut dari karton yang tingginya 20 cm dan jari-jari alas 15 cm!B. Luas Permukaan dan Volume Tabung, Kerucut, dan Bolaa. Luas Permukaan TabungPerhatikanlah gambar jaring-jaring tabung di bawah ini! CBAOA = jari-jari bola.BC = diameter bola.bagian luar bola disebut kulit bolaOQPQPQPrtt2Sr
47Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Berdasarkan gambar tersebut, luas tabung terdiri dari:2 × luas alas + luas selimut.Luas alas tabung = luas lingkaran = Sr2Luas selimut tabung = keliling lingkaran alas tabung × tinggi tabung = 2 Sr × t = 2SrtSehingga, Luas permukaan tabung = 2 × luas alas + luas selimut = 2 Sr2 + 2Srt = 2 Sr (r + t) Contoh1. Diketahui panjang jari-jari alas sebuah tabung tanpa tutup adalah 10 cm dan tinggi tabung 18 cm. Hitunglah luas tabung tersebut!2. Sebuah tabung memiliki ukuran tinggi 10 cm dan luas selimutnya 1.500 cm2. Hitunglah luas seluruh tabung dengan S = 3,14.Penyelesaian:1. Diketahui: S = 3,14jari-jari tabung (r) = 10 cmtinggi tabung (t) = 18 cmLuas tabung = luas alas + luas selimut tanpa tutup = (Sr2) + (2Srt) (3,14 × 102) + (2 × 3,14 × 10 × 18) = (314) + 1.130,4 = 1.444,4Jadi luas tabung tanpa tutup adalah 1.445 cm2.2. Diketahui: tinggi tabung (t) = 10 cmluas selimut tabung = 1.500 cm2S = 3,14 Luas tabung = 2Srt 1.500 = 2 × 3,14 × r × 10 1.500 = 62,8 × rr= 1.500 : 62,8r= 23,89Luas seluruh tabung = 2 Sr (r + t)= 2 × 3,14 × 23,89 × (23,89 + 10) = 5.084,49Jadi, luas seluruh tabung adalah 5,084,49 cm2.
48Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkungb. Volume TabungTabung adalah sebuah prisma dengan sisi alas berbentuk lingkaran. Volume tabung adalah sebagai berikut.v = luas alas × tinggiv = L × tdengan L (luas lingkaran) = Sr2 = Sr2 × t = Sr2tVolume tabung = Sr2t dengan: S = 3,14 atau 227r = jari-jari alast = tinggiContohSebuah tabung memiliki ukuran diameter 8 cm dan tinggi 12 cm bola dengan nilai S = 3,14. Hitunglah volume tabung tersebut!Penyelesaian:Diketahui : sebuah tabung berdiameter (d) = 8 cm tinggi (t) = 12 cmS= 3,14Diminta : menghitung volume (V) tabung tersebut.Jawab:Jika diameter (d) tabung adalah 8 cm, maka jari-jarinya adalah S = 4 cm.Rumus volume tabung (V) = Sr2t = 3,14 × 42 × 12 = 602, 88Jadi, volume tabung tersebut adalah 602, 88 cm3.ContohJika sebuah tabung memiliki volume 924 cm3, berapakah tinggi tabung tersebut dengan jari-jari alasnya 7 cm dan S = 227 ?Penyelesaian:Diketahui : sebuah tabung dengan volume (V) = 924 cm3 jari-jari (r) = 7 cmS = 227Diminta : menghitung tinggi tabung
49Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Jawab:Rumus volume tabung (V) = Sr2t 924 = 227 × 72 × t 924 = 154 × tt= 924154 = 6Jadi, tinggi tabung adalah 6 cm.Uji KompetensiKerjakanlah soal-sal berikut di buku latihan!1. Lengkapilah tabel mengenai tabung di bawah ini!No.TinggiJari-JariLuas SelimutLuas Permukaan1.20 cm14 cm. . . .. . . .2.8 cm. . . .251,2 cm2. . . .3.. . . .7 dm264 dm2. . . .4.. . . .8 cm. . . .1.004,8 cm25.2,5 dm. . . .. . . .66 dm22. Sebuah tangki berbentuk tabung tanpa tutup, tingginya 1,2 m dan diameternya 40 cm. Bagian dalam dan luarnya hendak dicat. Apabila biaya pengecatan Rp2.000,00 tiap m2, tentukanlah biaya yang diperlukan! 3. Sebuah tabung memiliki panjang diameternya 20 cm dan tingginya 50 cm maka tentukan volumenya!4. Diketahui sebuah volume tabung 88.704 cm3 dan tingginya 36 cm maka tentukanlah panjang jari-jari tabung dan luas selimutnya!5. Sebuah kaleng berbentuk tabung, tingginya 10 cm dan diameternya 7 cm. Tentukanlah volume kaleng tersebut!6. Berapa liter bensin dapat dimasukkan ke dalam tangki berbentuk tabung yang berdiameter 2 m dan panjangnya 3,5 m?7. Sebuah cerobong berbentuk tabung, tingginya 50 m dan diameternya 5 m. Tentukanlah volumenya (S = 3,14)!8. Amir akan membuat tabung yang dapat memuat 1 liter.a. Apabila diameter tabung 10 cm, berapa tingginya?b. Apabila tinggi tabung 10 cm, berapa diameternya?9. Sebuah kaleng serbuk berbentuk tabung, tingginya 14 cm dan diameternya 7 cm. Berapa kaleng serbuk yang dapat diisi ke suatu kaleng berukuran 2,2 m × 0,7 m × 0,1 m supaya penuh dengan serbuk tadi?
50Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkung2. Kerucut a. Luas Permukaan KerucutPerhatikanlah gambar jaring-jaring kerucut berikut ini!Berdasarkan gambar tersebut, luas permukaan kerucut = luas alas + selimut kerucut. Luas alas = luas lingkaran = Sr2.10. Sebuah drum berbentuk tabung memiliki diameter 84 cm dan tinggi 1,30 m. Berapakah volume drum tersebut? Jika drum tersebut diisi minyak tanah sebanyak 45 -nya, berapa liter minyak yang dapat terisi dalam drum tersebut?Ibu Lina membuat kue ulang tahun untuk Dita. Kue tersebut berbentuk tabung tingkat tiga. Tinggi masing-masing bagian 10 cm dan jari-jarinya tampak pada gambar. Hitunglah:a. Luas permukaan kue!b. Volume kue!Berpikir Kritis5 cm10 cm15 cm20 cm
51Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Untuk mencari luas selimut kerucut, perhatikan jaring-jaring selimut kerucut! Selimut kerucut (PQR) merupakan juring sebuah lingkaran dengan jari-jari s.Busur PR pada selimut kerucut panjangnya sama dengan keliling alas kerucut (2Sr). Dengan menggunakan metode perbandingan luas juring dan panjang busur diperoleh:luas juring PQRluas lingkaran = panjang busur PRkeliling lingkaranluas juring PQRSs2 = 2 Sr2 Ss = rsLuas juring PQR = Ss2 . r2 = Ssr = Srskarena luas juring PRQ = luas selimut kerucut, makaluas permukaan kerucut = luas alas × luas selimut = Sr2 + Srs = Sr (r + s) ContohDiketahui sebuah kerucut dengan jari-jari 8 cm, tinggi 15 cm, dan pendekatan S = 3,14. Hitunglah luas selimut kerucut tersebut!Penyelesaian:Diketahui: sebuah kerucut dengan jari-jari (r) = 8 cm tinggi (t) = 15 cmDiminta : menghitung luas selimut kerucut.Jawab :Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan panjang garus pelukis (s). Ketentuan rumus yang berlaku untuk menghitung panjang garis pelukis adalah:s2 = r2 + t2= 82 + 152= 64 + 225 = 289s= s= 17Kemudian setelah didapat s maka mulai mneghitung luas selimut kerucut.Rumus luas selimut kerucut = S × r × s = 3,14 × 8 × 17 = 427,04Jadi, luas selimut kerucut tersebut adalah 427,04 cm2.
52Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungContohHitunglah luas seluruh permukaan sebuah kerucut jika diketahui sebuah jari-jarinya berukuran 10 cm dan tinggi 16 cm!Penyelesaian:Diketahui: sebuah kerucut dengan jari-jari (r) = 10 cm tinggi (t) = 16 cmDiminta : menghitung luas selimut kerucut.Jawab :Pertama, hitunglah dahulu panjang garis pelukis (s).s2 = r2 + t2= 102 + 162= 100 + 256 = 356s= s= 18,87Setelah itu, hitunglah luas seluruh permukaan kerucut:Rumus luas selimut kerucut:= Sr2 × Sr s= (3,14 × 102) + (3,14 × 10 × 18,87)= 314 + 592,52= 906,52Jadi, luas seluruh permukaan kerucut adalah 906,52 cm2. ContohSeorang guru membentuk sebuah kerucut dari bahan kertas karton manila dengan bentuk seperti pada gambar berikut.a. Hitunglah jari-jari alas (r2) kerucut tersebut setelah dibentuk menjadi kerucut!b. Hitunglah tinggi kerucut tersebut!r1 = 10 cmr2 = ?s = 10 cmB34 lingkaran
53Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Penyelesaian:Diketahui: jari-jari karton manila (r1) = panjang garis pelukis (s) = 10 cmDiminta : menghitung jari-jari alas kerucut (r2) dengan tinggi kerucut (t)Jawab :1. Untuk menghitung jari-jari alas kerucut, gunakan rumus luas selimut kerucut yang identik dengan luas karton ( 34 lingkaran)Rumus luas selimut kerucut = Rumus luas karton manilaSr2s = 34Sr12 3,14 × r2 × 10 = 34. 3,14 . 102 31,4 r2 = 235,5r2 = 235,531,4 = 7,5Jadi, panjang jari-jari alas kerucut tersebut adalah 7,5 cm.2. Untuk menghitung tinggi kerucut, perhatikan segitiga siku-siku yang terbentuk.Gunakan dalil Pythagoras!S2 = t2 + r2 102 = t2 + 7,52t2= 100 – 56,25t2 = 43,75t = t = 6,61Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 6,61 cm.b. Volume KerucutKerucut merupakan sebuah limas yang memiliki alas berbentuk lingkaran. Rumus volume kerucut adalah sebagai berikut.V = 13 luas alas × tinggi = 13 luas lingkaran × tinggi = 13Sr2t dengan: S = 3,14 atau 227r = jari-jari alast = tinggi kerucuttr7,5s = 10 cm
54Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungContohJika diketahui sebuah kerucut berjari-jari alas 5 cm dan tinggi 10 cm dengan S= 3,14. Berapakah volume kerucut itu?Penyelesaian:Diketahui : sebuah kerucut dengan jari-jari (r) = 5 cm tinggi (t) = 10 cmʌ = 3,14Diminta : menghitung volume kerucut (V)Jawab :Rumus volume kerucut (V) = 13ʌr2. t = 13 × 3,14 × 52 × 10 = 261,67Jadi, volume kerucut tersebut adalah 261,67 cm3.ContohHitunglah volume kerucut dengan diameter alas 8 cm, garis pelukis 12 cm, dan ʌ = 3,14.Penyelesaian:Diketahui : Sebuah kerucut dengan diameter alas (d) = 8 cm garis pelukis (s) = 12 cmʌ = 3,14Diminta : menghitung volume kerucut itu (V)Jawab :Pertama yang harus dihitung adalah tinggi kerucut, dengan cara melihat segitiga siku-siku yang dibentuk dalam kerucut tersebut (perhatikanlah gambar!)Untuk diameter (d) = 8 cm, maka jari-jari(r) kerucut tersebut adalah d2 = 4 cm.Dengan menggunakan dalil Pythagorasmaka:s2 = t2 + r2122 = t2 + 42144 = t2 + 16t2= 144 – 16t2 = 128t= = 11,31Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 11,31 cm.s = 12 cmtr = 4 cm
55Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Selanjutnya, hitunglah volume kerucut (V) tersebut.Rumus volume kerucut = 13ʌr2 . t = 13 × 3,14 × 16 × 11,31 = 189,40Jadi, volume kerucut tersebut adalah 189,40 cm3.Uji KompetensiKerjakanlah soal-soal berikut pada buku kerjamu!1. Lengkapilah tabel mengenai kerucut di bawah ini!No.TinggiJari-JariGaris PelukisLuas SelimutLuas Permukaan1.2.3.4.5.8 cm24 cm. . . .3 dm. . . .6 cm7 cm5 dm. . . .10. . . .. . . .. . . .5 dm. . . .. . . .. . . .204,12 dm2. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .1.067,6 cm22. Sebuah kerucut panjang garis pelukisnya adalah 25 cm jika tingginya 24 cm, tentukanlah luasnya!3. Pak Rahmat akan membuat atap kubah dari seng yang berbentuk kerucut. Menurut rencana panjang diameternya 14 m dan tingginya 5 m. Jika biaya pembuatan tiap m2 sebesar Rp50.000,00, berapakah biaya yang diperlukan untuk penyelesaian kubah tersebut?4. Sebuah kerucut memiliki volume 616 cm3. Jika tingginya 12 cm, hitunglah jari-jari kerucut dan keliling alasnya!5. Luas alas sebuah kerucut 11317 cm2. Jika panjang garis pelukisnya 10 cm maka tentukanlah volume kerucut tersebut!6. Luas selimut kerucut 550 cm2. Jika jari-jari alasnya 7 cm, hitunglah:a. panjang garis pelukisnyab. luas alasnyac. volumenya
56Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkung7. Tentukan panjang garis pelukis jika luas selimut kerucut 19,14 cm2 dan jari-jari lingkaran alas 2,1 cm!8.Diagram tersebut terdiri dari seperempat lingkaran dengan jari-jari 28 cm. Tentukanlah jari-jari lingkaran alas kerucut!9. Jika ʌ = 227 , hitunglah volum kerucut berikut.a. r = 12 cm dan t = 35 cmb. r = 4 cm dan t = 4,2 cmc. r = 7 cm dan t = 1,2 cm10. Hitunglah volum kerucut pada gambar di samping ini!3. Bolaa. Luas Permukaan BolaUntuk menemukan luas permukaan bola, lakukanlah kegiatan berikut ini!1. Sediakanlah sebuah bola dengan diameter 2r, kemudian belah bola tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.Kegiatans = ?r = 2,1 cmr = ?r = cmABBOABO28 cm24 cm28 cm
57Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX ContohHitunglah luas kulit bola yang memiliki jari-jari 14 cm!Penyelesaian:r= 14 cmS = 227L = 4ʌr2= 4 . 227 (7 × 7)= 4 . 22 . 7 = 616Jadi, luas kulit bola itu adalah 616 cm2.b. Volume BolaBola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung, tidak memiliki rusuk maupun titik sudut. Benda berbentuk seperti ini sering dijumpai dalam kehidupan nyata. Untuk mengetahui volume bola lakukanlah kegiatan berikut ini.2. Ambil satu bagiannya, kemudian lilitkan benang atau tali mengelilingi kulit setengah bola sampai penuh.3. Benang atau tali yang dililitkan pada belahan bola, kemudian pindahkan kepada karton yang panjangnya sama dengan keliling lingkaran (2ʌr), dan ternyata tali menutupi setinggi jari-jari (r).Dari gambar di atas dapat ditentukan, bahwa: luas karton yang ditutupi tali = . . . × r = . . . .Luas karton yang ditutupi tali = luas setengah bola, sehinggaLuas permukaan bola dengan jari-jari dinyatakan dengan rumus:L = . . . .Info PlusMenurut matematikawan Yunani yang bernama Archimedes (287 - 216 SM) disebutkan: “Jika pada suatu bola dan tabung memiliki jari-jari yang sama dan tinggi tabung yang sama dengan diameter bola maka luas permukaan bola sama dengan luas selimut tabung.”Sumber: Encarta, 2004 denganpengubahan seperlunya.2r2r2Srr
58Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungJika pada kerucut tersebut diisi penuh dengan air, lalu dituangkan kembali ke dalam bangun setengah bola, maka yang terjadi adalah pada bangun setengah bola tersebut mampu memuat sampai dua kali lipat dari kerucut. Ini menunjukkan bahwa volume setengah bola sama dengan . . . volume kerucut. Jika pada bangun bola penuh maka artinya sama dengan . . . kali volume kerucut sehingga dapat ditulis sebagai berikut:Volume bola = . . . × volume kerucut= . . . × . . . (di mana t = r)= . . . × . . .= . . .KegiatanRumus volume bola berlaku pada setiap bangun bola, yaitu: V = 43ʌr3dengan: V = Volumeʌ = 3,14 atau 227r= jari-jariContohAyah membelikan adik sebuah bola sepak. Bola tersebut berjari-jari 8 cm. Berapakah volume bola tersebut?Penyelesaian:Diketahui : Sebuah bola dengan jari-jari (r) = 8 cm.ʌ = 3,14Ditanya : Volume BolaV = 43ʌr3 = 43. 3,14 . (8)3 = 2143,57Jadi, volume bola tersebut adalah 2143,57 cm3.rrr
59Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX ContohJika diketahui sebuah bola dengan diameter 12 cm. Hitunglah volume bola tersebut!Penyelesaian:Diketahui : Sebuah bola, diameter (d) = 12 cm, berarti jari-jari (r) = 12d = 12. 12 = 6 cmʌ= 3,14Ditanya : Volume bolaJawab : V = 43ʌr3 = 43ʌr3. 3,14 . (6)3 = 904,32Jadi, volume bola tersebut adalah 904,32 cm3.ContohSebuah bola memiliki diameter 8 cm, lalu dimasukkan ke dalam sebuah tabung yang memiliki diameter 12 cm dan tinggi 10 cm. Tentukanlah volume bagian tabung di luar bola!Penyelesaian:Diketahui : Diameter bola (d) = 8 cm, berarti r = 4 cm Diameter tabung (d) = 12 cm, berarti r = 6 cm, tinggi (t) = 10 cm, ʌ = 3,14Ditanya : Volume bagian tabung di luar bolaJawab :Volume bagian tabung di luar bola = volume tabung – volume bola = ʌr2t – 43ʌr3 = (3,14 × (6)2 × 10) – (43 × 3,14 × 43) = 1.130,4 – 267,95 = 862,45Jadi, volume bagian tabung di luar bola tersebut adalah 862,45 cm3.Uji Kompetensi1. Hitunglah luas bola jika jari-jarinya diketahui:a. 20 cm b. 7 cm c. 14 dm d. 3,5 cm e. 8 cm2. Diketahui sebuah bola luasnya 544 cm2, ʌ = 227 , tentukanlah diameter bola tersebut!
60Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkung3. Hitunglah luas permukaan benda padat pada gambar di bawah ini!4. Kubah sebuah masjid berbentuk belahan bola dengan diameter 10 m. Jika biaya pembuatan atap tiap m2 Rp150.000,00, tentukanlah biaya yang diperlukan untuk menyelesaikan atap tersebut!5. Berapakah volume bola jika diketahui data-data berikut ini?a. jari-jari 12,5 cm c. diameter 15 cmb. jari-jari 23 m d. diameter 20 cm6. Sebuah bola basket milik siswa SMP Wijaya Utama kempes, siswa diminta untuk mengisi udara pada bola tersebut. Berapakah volume udara yang diperlukan untuk bola tersebut jika bola memiliki jari-jari 11 cm?7. Hitunglah jari-jari bola jika diketahui volumenya sebagai berikut!a. 288 cm3b. 1.000 cm3c. 1.010 cm38. Mangkuk sup berbentuk 12 bola akan diisi sup. Kapasitas mangkuk itu adalah 486 cm3. Berapakah diameter mangkuk tersebut?9. Hitunglah berat 200 bola besi dengan diameter masing-masing 0,7 cm, jika berat 1 cm3 besi adalah 7,8 gram!10. Sebuah bola dimasukkan ke dalam sebuah tabung berisi air sehingga bola tersebut seluruhnya berada di dalam air dan permukaan air menjadi naik. Berapakah tinggi air yang naik (t), jika:a. diameter bola 5 cm dan diameter tabung 10 cmb. diameter bola 10 cm dan diameter tabung 20 cm.Ingatlah bahwa volume air yang naik sama dengan volume bola!12 cm14 cm14 cm10 cm8 cm6 cm7 cm5
61Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX C. Menghitung Besar Perubahan Volume1. Perbandingan Volume Tabung, Volume Kerucut, dan Volume Bola Contoh1. Diketahui tinggi tabung sama dengan tinggi kerucut jika jari-jari alas tabung sama dengan dua kali jari alas kerucut. Tentukanlah perbandingan volume tabung dengan perbandingan volume kerucut tersebut!Penyelesaian:tt = tk = trt = 2rk Vt : Vk = ʌrt2 . tt : 13ʌrk2 . tk = ʌ(2rk)2 . t : 13ʌrk2 . t = ʌ . 4 . rk2 . t : 13ʌrk2 . t = 4ʌrk2t : 13ʌrk2 . t = 4 : 13 = 4 × 31 = 121 = 12 : 1Jadi, perbandingan volume tabung dengan volume kerucut adalah 12 : 13.Sebuah bandul timah terdiri atas belahan bola dan kerucut seperti gambar di samping. Diameter belahan bola dan tinggi kerucut sama, yaitu 1,4 cm. Tentukanlah berat bandul jika 1 cm3 timah sama beratnya dengan 11,4 gram!Berpikir Kritis1,4 cm1,4 cm
62Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkung2. Diketahui tinggi tabung = 2 × jari-jari bola dan jari-jari alas tabung = jari-jari bola. Hitunglah perbandingan volume bola dengan tabung!Penyelesaian:t= 2rtt = rbVtabung : Vbola = ʌrt2t : 43ʌrb3 = ʌrt2 . 2r : 43ʌrt3 = 2 : 43 = 3 : 2Jadi, perbandingan volume tabung dengan volume bola adalah 3 : 2.3. Diketahui tiga bola dengan perbandingan jari-jarinya r1 : r2 : r3 = 1 : 2 : 3. Tentukanlah perbandingan volume ketiga bola tersebut!Penyelesaian:V1 : V2 : V3 = 43ʌr3 : 43ʌr23 : 43ʌr33 = r13 : r23 : r33 = 13 : 23 : 33= 1 : 8 : 27.Jadi, perbandingan volume ketiga bola tersebut adalah 1 : 8 : 27.2. Perubahan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola Jika Jari-Jarinya BerubahContoh1. Sebuah tabung volumenya V, jika jari-jari tabung diperkecil setengahnya, berapa volumenya sekarang?Penyelesaian:Vo = ʌro2tr1 = 12r0V1 = ʌr12 . t = ʌ (12r0)2 . t = 14ʌ . r02 . t = 14V0Jadi, volume tabung sekarang adalah 14 volume semula.
63Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 2. Sebuah bola volumenya V. Jika jari-jarinya diperbesar menjadi 32 dari semula, tentukanlah perubahan volumenya!Penyelesaian: Misal r1 = 32r0 volume awal = V0 = 43ʌr03 volume akhir = V1 = 43ʌr13 = 43ʌ (32r0)3Perubahan volume = V1 – V0 = 43ʌr13 – 43ʌr03 = 43ʌ (r13 – r03) = 43ʌ {(32r0)3 – r03} = 43ʌr03 (278 – 1) = V0 (198) = 238V0Jadi, perubahan volumenya 238 kali volume semula.Setelah mempelajari volume tabung, kerucut, dan bola, hitunglah perbandin-gan volum bangun-bangun tersebut sesuai dengan gambar berikut ini!1. V tabung : V bola2. V kerucut : V bolaTugash = 2r22rh = 3r
64Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungUji KompetensiKerjakan soal-soal berikut ini di buku latihanmu!1. Diketahui tinggi kerucut dua kali jari-jari alasnya. Jika jari-jari alas kerucut sama dengan jari-jari bola, tentukanlah perbandingan volume kerucut dengan volume bola tersebut!2. Diketahui tinggi tabung sama dengan diameter alas kerucut. Jika tinggi kerucut sama dengan dua kali diameter alas tabung, tentukanlah perbandingan volume tabung dan volume kerucut tersebut!3. Diketahui volume tabung sama dengan tiga kali volume bola. Jika tinggi tabung sama dengan diameter bola, tentukan perbandingan jari-jari alas tabung dengan jari-jari bola!4. Sebuah tabung volumenya V, jika jari-jari tabung diperbesar 2 kali dari semula, tentukan volume tabung sekarang!5. Sebuah kerucut volumenya V, jika jari-jarinya diperbesar menjadi 3 kali dari semula, dan tingginya diperkecil menjadi 23 dari semula, tentukanlah perubahan volumenya!• Tabung adalah suatu bangun yang dibatasi oleh dua bidang sisi yang sejajar dan kongruen berbentuk lingkaran serta bidang sisi tegak berbentuk selongsong yang disebut selubung.Luas permukaan tabung = 2 × luas alas × tinggi = 2ʌr2 + 2ʌrt = 2ʌr (r + r)Volume tabung = luas alas × tinggi = ʌr2t• Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang sisi alas yang berbentuk lingkaran dan bidang sisi lain yang disebut selimut kerucut.Luas permukaan kerucut = luas alas + luas selimut = ʌr2 + 2ʌrt = 2ʌr (r + t)Rangkumanrttsr
65Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX • Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung.Luas permukaan bola = 2ʌr2Volume bola = 43ʌr3Berdasarkan materi yang sudah kamu pelajari, selesaikanlah persoalan berikut ini!1. Diketahui volume tabung = ʌr2t dan volume kerucut = 13ʌr2t. Berapakah perbandingan volume tabung dan silinder?2. Coba kamu buktikan kembali bahwa luas sisi tabung adalah 2ʌr (r + t)3. Coba kalian buktikan bahwa volume bola empat kali volume kerucut! Syarat apa yang harus dipenuhi? Coba jelaskanlah!ReÀ eksi2r
66Bab 2Bangun Ruang Sisi LengkungPeta KonsepBangunRuangSisiLengkungcontohnyadipelajaritentangdipelajaritentangdipelajaritentangUnsur-unsurnyaTabungKerucutBolaUnsur-unsurnyaUnsur-unsurnyaJaring-jaringJaring-jaringLuas danvolumeLuas danvolumeLuas danvolumeL = 2ʌr (r + t)V = ʌr2tL = ʌr (r + s)V = 13ʌr2tL = 4ʌr2V = 43ʌr3
67Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Uji Kompetensi Semester 2A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!1. Sebuah kerucut setinggi 30 cm memiliki alas dengan keliling 66 cm (S = 227 ). Volume kerucut itu adalah . . . .A. 13.860 cm3 C. 6.930 cm3B. 10.395 cm3 D. 3.465 cm32. Seorang pengusaha ingin membuat tangki air (berbentuk tabung) dari plat besi. Jika pengusaha itu merencanakan isi tangki air itu 2.310 liter dan jari-jarinya 70 cm dengan ʌ = 227, luas plat besi untuk membuat selimut tabung itu adalah . . . .A. 231 dm2 C. 462 dm2B. 330 dm2 D. 660 dm23. Gambar di samping menunjukkan bandul padat yang terdiri atas belahan bola dan kerucut. Alas kerucut berimpit dengan belahan bola. Jika jari-jari bola 1,5 cm, tinggi kerucut 2 cm maka luas permukaan bandul tersebut adalah . . . .A. 21,195 cm2B. 25,905 cm2C. 31,793 cm2 D. 32,970 cm24. Sebuah tabung alasnya berjari-jari 8 cm dan tinggi 50 cm diisi air setinggi 15 cm. Kemudian ke dalam tabung dimasukkan sebuah bola besi yang berjari-jari 6 cm. Tinggi air dalam tabung adalah . . . .A. 15,22 cm C. 18,33 cmB. 15,30 cm D. 19,50 cm5. Keliling alas sebuah kerucut 62,8 cm, tingginya 18 cm dan volume kerucut itu adalah . . . .A. 1.884 cm3 C. 3,768 cm3B. 1.826 cm3 D. 5.652 cm36. Jari-jari alas suatu kerucut 5 cm, tingginya 12 cm dan ʌ = 3,14. Luas seluruh permukaan kerucut tersebut adalah . . . .A. 62,8 cm2 C. 204,1 cm2B. 78,5 cm2 D. 282,6 cm21,5 cm2 cm
68Bab 2Bangun Ruang Sisi Lengkung7. Ditentukan kerucut dengan tinggi 8 cm dan jari-jari alasnya 6 cm, ʌ = 3,14. Luas seluruh permukaan kerucut tersebut adalah . . . .A. 301,44 cm2 C. 113,04 cm2B. 188,40 cm2 D. 100,48 cm28. Sebuah tabung terbuka terbuat dari seng dengan jari-jarinya 14 cm, tingginya 20 cm. Jika ʌ = 227 maka luas seng yang diperlukan untuk membuat tabung tersebut adalah . . . .A. 1.232 cm2 C. 1.760 cm2B. 1.496 cm2 D. 2.992 cm29. Sebuah bola besi dimasukkan ke dalam tabung yang penuh berisi air. Jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, yaitu 10 cm, sedangkan tinggi tabung 21 cm. Jika ʌ = 3,14 maka sisa air di dalam tabung sesudah bola dimasukkan adalah . . . .A. 2.407,33 cm3 C. 1.456,33 cm3B. 2.198 cm3 D. 732,67 cm310. Sebuah kerucut yang berjari-jari 7 cm memiliki tinggi 24 cm. Luas sisi kerucut dengan ʌ = 227adalah . . . .A. 682 cm2 C. 1056 cm2B. 704 cm2 D. 1232 cm2B. Selesaikanlah soal-soal berikut ini!1. Ke dalam sebuah tempat air setinggi 21 cm dimasukkan 3 bola besi yang masing-masing berjari-jari 3,5 cm. Jika tabung tersebut mempunyai diameter 14 cm, tinggi 35 cm dan ʌ = 227 maka berapakah tinggi air dalam tabung tersebut sekarang?2. Diketahui bangun seperti pada gambar di samping. Tinggi tabung A = B = C = 3 cm. Jari-jari lingkaran tabung A dan C adalah 5 cm dan jari-jari alas tabung B adalah 15 jari-jari lingkaran tabung A. Berapakah luas sisi bangun tersebut?3. Jika luas lingkaran suatu bola adalah 217 cm2, maka berapakah luas bola tersebut? Carilah volumenya dan jari-jari bola tersebut!5ACB
69Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 4. Pada bagian atas tabung terdapat bangun ruang setengah bola. Tentukanlah volume tabung dan volume bola tersebut!5. Harun mempunyai sebuah kotak berbentuk balok berukuran 50 cm × 50 cm ×75 cm. Dalam kotak tersebut ia menyimpan dua bola dengan jari-jari berturut-turut 20 cm dan 8 cm. Hitunglah volume balok yang tersisa!* * *5 cm5 cm10 cm